12 outubro, 2009

FEIRA DO LIVRO - 2009


...no último dia 03 de outubro foi realizada a Feira do Livro, aqui no 19 de Novembro


...onde foram observados, mais uma vez, o empenho dos alunos em produzir trabalhos escritos em forma de livros, cartazes, gravuras e com apresentações, com uso tecnológico, na sala de informática


...Parabéns a todos os envolvidos neste cenário educativo...

21 setembro, 2009

Projeto: Culinária no Dezenove

EMEF “19 DE NOVEMBRO”

PROJETO INTERDISCIPLINAR: CULINÁRIA NO DEZENOVE
Roteiro de trabalho

- Os alunos formarão duplas e escolherão uma receita culinária
- Os professores se informam sobre as receitas, proposta pelos alunos
- Cada disciplina irá trabalhar sua especificidade com a finalidade de apresentar como uma informação.
- Cada dupla irá produzir duas páginas. A 1ª página é a própria receita e a 2ª será uma informação técnica ou científica de cada disciplina
- A organização das receitas e seu estudo, permitirão um produto final que é um livro de receitas da sala.
- O livro será composto de índice, introdução, corpo e conclusão.
- A introdução será feita pelos alunos com fatos pitorescos de sua vida cotidiana e perfil da sala. - - A Conclusão será feita pelos professores, como um balanço do trabalho executado.
- O professor que participar ganhará um presente, do Papai Noel, no Natal.
Sejam Felizes
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20 agosto, 2009

SIMULADO DA OBMEP

...Caro aluno.
...Com a intenção em desenvolver e aprofundar seus estudos
... Informo sobre um Arquivo, localizado no 4shared, para vc acessar e baixar Apostilas de Matemática.
...O endereço é...


http://www.4shared.com/dir/6610182/b3e15407/OBMEP_-_Iniciao_Cientfica_Jr.html

...Boa Sorte

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OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Soluções do Nível 1 - 1a Fase

1. (alternativa C)
99 + 999 + 9 999 =
(100 −1) + (1000 −1) + (10 000 −1) =
11100 − 3 = 11097.

2. (alternativa D)
A balança mostra que o peso de Aninha com um mês de idade é de 4,1 quilos, ou seja, 4100 gramas. Aninha nasceu com 3250 gramas, logo ela engordou 4100 − 3250 = 850 gramas em seu primeiro mês de vida.
Comentário: usamos aqui a palavra “peso” em lugar de “massa” devido a seu emprego coloquial.

3. (alternativa E)
Na opção I o quadrado está dividido em quatro triângulos iguais, de modo que a
área da região sombreada é a metade da área do quadrado.
Na opção II, a diagonal divide o quadrado em dois triângulos iguais, e outra vez a área da região sombreada é metade da área do quadrado.
Na opção III o triângulo sombreado tem área menor do que o triângulo sombreado da opção II, ou seja, menor que metade da área do quadrado.
Na opção IV, observamos na figura ao lado que a perpendicular MN ao segmento AB divide o quadrado nos pares de triângulos iguais AMN, ADN e BMN, BCN; segue mais uma vez que a área da região sombreada é metade da área do quadrado.
Finalmente, a área do triângulo sombreado na opção V é maior do que a área do
triângulo sombreado da opção II, ou seja, é maior do que metade da área do quadrado.
Comentário: observamos que na opção IV o ponto N não precisa ser o ponto médio do lado CD. De fato, o argumento usado acima para analisar essa opção não depende da posição de N ao longo de CD.

4. (alternativa A)
Solução 1: Na figura vê-se que V está abaixo de R, que está abaixo de S, que está abaixo de U, que está abaixo de T.
Logo a ordem em que os discos foram colocados sobre a mesa é V, R, S, U, T.
Solução 2: T está acima de U, que por sua vez está acima de S e V. Como R está abaixo de S e acima de V vê-se que S foi colocado na mesa depois de V e R, e chegamos à mesma solução anterior.

5. (alternativa C)
Temos 9870 x 1,54 = 987 x 10 x 154/100 = 987x154/10 = 151998/10 = 15 199,8

6. (alternativa B)
Solução 1: Se Pedro não tivesse trocado os preços, a quantia que ele teria recebido pela venda de 100 quilos de cenoura e 120 quilos de tomate seria 100 ×1+120 ×1,10 = 100 +132 = 232 reais. A quantia que ele recebeu, de fato, foi de 100 ×1,10 +120 ×1= 110 +120 = 230 reais. Logo, por causa de sua distração, ele perdeu 232 − 230 = 2 reais.
Solução 2: Como a diferença dos preços dos dois produtos é R$ 0,10 por quilo, ao trocar os preços Pedro ganhou 100 × 0,10 = 10 reais na venda das cenouras e perdeu 120 × 0,10 = 12 reais na venda dos tomates. Logo, no final, ele perdeu 2 reais.

7. (alternativa E)
Os casais 1 e 2 podem se sentar de duas maneiras distintas:
123 14243
esquerda direita
casal 1 casal 2 ou casal 2 casal 1

No primeiro caso, as quatro pessoas podem se sentar em 4 ordens, então:

homem 1, mulher 1, homem 2, mulher 2

homem 1, mulher 1, mulher 2, homem 2

mulher 1, homem 1, homem 2, mulher 2

mulher 1, homem 1, mulher 2, homem 2

No segundo caso, obtemos da mesma maneira outras 4 ordens. Logo os casais podem se sentar no banco de 4 + 4 = 8 maneiras distintas.

8. (alternativa D)
Um quadrado de lado l tem área l 2 . Os lados dos quadrados de áreas 25 cm2 e 9 cm2 medem respectivamente, 5 cm e 3 cm. Segue que o lado do quadrado menor mede 5 − 3 = 2 cm.
O contorno da figura é formado por 3 lados de 5 cm, 2 lados de 3 cm, 2 lados de 2 cm e um segmento que é a diferença entre um lado de 3 cm e outro de 2 cm, donde o perímetro é 3 × 5 + 2× 3 + 2× 2 + (3 − 2) = 26 cm.


9. (alternativa D)
Para encontrar a expressão que a professora escreveu no quadro negro, precisamos destrocar tudo o que Carlos trocou:
( 1 3 ÷ 5 ) × ( 5 3 + 2 ) − 2 5, agora temos
( 1 5 ÷ 3 ) + ( 3 5 × 2 ) − 2 3
Logo o resultado da expressão que professora escreveu no quadro negro é
(15 ÷ 3) + (35 × 2) − 23 = 5 + 70 − 23 = 52 .


10. (alternativa D)
Uma maneira de iniciar o preenchimento da tabela é
Agora é fácil completar a tabela O resultado final é
4 2 3 1
1 3 2 4
2 1 4 3
3 4 1 2
e a soma procurada é 4 + 3 + 4 + 2 = 13 .


11. (alternativa C)
Como o resultado da multiplicação é um número de três algarismos, então 􀂅 só pode representar 1, 2
ou 3. Logo não “vai 1” quando multiplicamos 􀂅 (multiplicador) por 􀂅 (algarismo das unidades do
multiplicando) e assim 􀂅 × 2 = 6, donde 􀂅 = 3 e Δ = 9. Portanto 􀂅 × Δ = 27.

12. (alternativa A)
Para montar o quadrado maior, a peça de um quadradinho não poderá ocupar
nenhuma das quatro casas sombreadas na figura ao lado. Logo César só pode
ter escrito nessa peça os seguintes números: 12, 25, 14, 20 ou 16.
Examinemos agora cada uma das opções:
(A) todos esses números são maiores que 9
(B) nenhum desses números é menor que 11
(C) nenhum desses números é maior que 27
(D) nenhum desses números é par menor que 10
(E) nenhum desses números está entre 21 e 24
donde temos a opção correta.

13. (alternativa A)
As informações do gráfico são dadas nas três primeiras colunas da tabela abaixo:
...Concluímos que o maior aumento percentual de população entre 1990 e 2000 ocorreu na cidade I. Na forma percentual, 30 67%


14. (alternativa D)
A região sombreada é formada pelo quadrado central, quatro retângulos cada um com metade da área de um quadrado e quatro triângulos cada um com um oitavo da área de um quadrado. Logo a área da região sombreada é 1+4 . 1/2+4 . 1/8 = 3,5 cm2.

15. (alternativa D)
Inicialmente o fabricante cobrava R$ 20,00 por quilo e passou, com o aumento de preço, a cobrar R$ 25,00 por quilo. Logo o aumento do preço foi de R$ 5,00 por quilo e o aumento percentual de 5/20 = 25%


16. (alternativa D)
Solução 1: Cada vez que se passa uma bola branca da caixa quadrada para a redonda, tanto o número de bolas brancas quanto o total de bolas na caixa quadrada diminui de 1; já na caixa redonda, tanto o número de bolas brancas quanto o total de bolas aumenta de 1. Número de bolas brancas passadas da caixa quadrada para a redonda 0 1 2 3 4..., Paula terá que passar 3 bolas brancas da caixa quadrada para a redonda.

17. (alternativa C)
Ao montar o cubo, a face branca e a face cinza ficam opostas; logo as alternativas (A) e (B) estão excluídas. As alternativas (D) e (E) estão excluídas pois no cubo não podem aparecer um retângulo branco e outro cinza com um lado menor em comum.

18. (alternativa D)
Como queremos obter a soma 54, devemos colocar sinais de adição entre todos os algarismos a partir do 5, isto é, 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 6 7 8 9 54 30
+ + + + = 1442443 . Logo precisamos que 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 = 24 .
Com o mesmo argumento usado anteriormente, vemos que isso só pode ser feito como
12 + 3 + 4 + 5 . Logo 12 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 54 é a expressão procurada, para a qual necessitamos de 7 sinais de adição.

19. (alternativa C)
Como 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 +11+12 = 78 , a soma de duas faces opostas em cada cubo é 78 ÷ 6 = 13 . Logo, no cubo à direita, a face oposta à face 3 é a face 10, que é então uma das faces coladas. Falta descobrir qual a face do outro cubo que foi colada . Como é uma face par, só pode ser 6, 8 ou 12, porque já sabemos onde estão as faces 2, 4 e 10. Olhando para o cubo da esquerda vemos que a face 1 é oposta à face 12 e a face 5 oposta à face 8. Logo, nesse cubo, a face colada foi a 6. Portanto a resposta é 6 × 10 = 60.


20. (alternativa E)
Como 950 + 550 = 1500 = 2× 750 , uma solução é café na xícara I, suco na II, café na III, leite na IV e na V. Nessa solução temos apenas uma xícara com suco.
Será que existe outra solução com suco em duas xícaras? Se sim, teríamos duas possibilidades para a quantidade de suco:
i. 475+ 325= 800ml (suco nas duas xícaras menores) Nesse caso teríamos 1600 ml de café o que é impossível obter com 1 ou 2 xícaras dentre as I, II e III
ou
ii. maior do que 800 ml; nesse caso a quantidade de café seria maior que 800 × 2 = 1600 ml, o que só pode ocorrer com café nas xícaras I e II, que somam 950 + 750 = 1700 ml.
Neste caso a quantidade de suco seria 850 ml, o que não pode ocorrer com as demais xícaras.
Logo há suco em apenas uma xícara, donde a única solução possível é a dada acima.

05 maio, 2009

DIA DA MATEMÁTICA

...Dia 06 de maio
...Dia Nacional da Matemática

...Em homenagem a Malba Tahan, no dia de seu nascimento – 6 de maio – foi decretado DIA DA MATEMÁTICA pela Assembléia Legislativa do Rio de Janeiro.

...OS TRINTA E CINCO CAMELOS - Malba Tahan

Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista.
Encontramos, perto de um antigo caravançará meio abandonado, três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e impropérios, gritavam possessos, furiosos:
— Não pode ser!
— Isto é um roubo!
— Não aceito!
O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
— Somos irmãos — esclareceu o mais velho — e recebemos como herança esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo eu receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte, e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos. A cada partilha proposta, segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio! Como fazer a partilha, se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas?
— É muito simples — atalhou o “homem que calculava”. — Encarregar-me-ei de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal, que em boa hora aqui nos trouxe.
Neste ponto, procurei intervir na questão:
— Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viagem, se ficássemos sem o nosso camelo?
— Não te preocupes com o resultado, ó “bagdali”! — replicou-me, em voz baixa, Beremiz. — Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás, no fim, a que conclusão quero chegar.
Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo jamal, que imediatamente foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três herdeiros.
— Vou, meus amigos — disse ele, dirigindo-se aos três irmãos — fazer a divisão justa e exata dos camelos, que são agora, como vêem, em número de 36.
E voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:
— Deves receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade de 36, ou seja, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.
Dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
— E tu, Hamed Namir, devias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.
E disse, por fim, ao mais moço:
— E tu, jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, devias receber uma nona parte de 35, isto é, 3 e pouco. Vais receber um nono de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado.
Numa voz pausada e clara, concluiu:
— Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir — partilha em que todos os três saíram lucrando — couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um total de 34 camelos. Dos 36 camelos sobraram, portanto, dois. Um pertence, como sabem, ao “bagdali” meu amigo e companheiro; outro, por direito, a mim, por ter resolvido a contento de todos o complicado problema da herança.
— Sois inteligente, ó estrangeiro! — confessou, com admiração e respeito, o mais velho dos três irmãos. — Aceitamos a vossa partilha, na certeza de que foi feita com justiça e eqüidade.
E o astucioso Beremiz — o “homem que calculava” — tomou logo posse de um dos mais belos camelos do grupo, e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia:
— Poderás agora, meu amigo, continuar a viagem no teu camelo manso e seguro. Tenho outro, especialmente para mim.
E continuamos a nossa jornada para Bagdá.


(Malba Tahan, Seleções - Os melhores contos – Conquista, Rio, 1963

14 abril, 2009

...Como fazer um relatório...

...Depois de ter feito uma experiência ou pesquisa, você vai querer convencer outras pessoas das suas conclusões.
...O seu êxito depende de uma boa comunicação e além de talento de escrever é necessário seguir certos formatos padronizados para facilitar a compreensão do leitor.
...Um bom relatório depende de uma boa tomada de dados.
...Procure organizar-se de maneira a anotar durante a prática todas as informações relevantes de uma forma inteligível posteriormente.
...No relatório você vai descrever, nas suas palavras, a experiência efetuada, justificar o procedimento escolhido, apresentar os dados medidos e finalmente os resultados e conclusões.
...Para organizar o relatório, pode dividir ele em várias partes. Por exemplo:
- Introdução...Resumo teórico para situar a experiência. Exposição dos conceitos teóricos que vai usar. Referencias a literatura pertinente (Livros texto, livros de referencia, internet, etc.)
- Objetivos...Descrição sucinta do que se pretende obter da experiência.
- Procedimento Experimental...Descrição do procedimento seguido em aula. Isto é, descrever o que você fez, não necessariamente o procedimento proposto, justificando e discutindo a escolha.
- Dados Experimentais e Análise...Apresentação dos dados coletados, através de tabelas, gráficos etc. Mas, deve ficar claro como chegou ao resultado.
- Conclusões...Discussão dos resultados obtidos. Sempre que possível, comparar os resultados com os conhecidos ou esperados teoricamente. Se usou vários métodos, comparar os métodos.
Para experiências simples, os items Introdução e Objetivos podem muito bem ser tratados em um único seção. Da mesma maneira, poderia juntar o descrição do equipamento com o procedimento experimental. Em todos os ítens, pode e deve se referir aos livro textos, a sites no internet e à própria guia da experiência.

Fonte: http://euclides.if.usp.br/~ewout/ensino/geral/000008.html

10 abril, 2009

Número Pi...π

...Na matemática, π é o número que representa a quociente entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro p e diâmetro d, então aquele número é igual a p / d.

...É representado pela letra grega π. A letra grega π (lê-se: pi), foi adotada para o número a partir da palavra grega para perímetro, "περίμετρος", provavelmente por William Jones em 1706, e popularizada por Leonhard Euler alguns anos mais tarde. Outros nomes para esta constante são constante circular, constante de Arquimedes ou número de Ludolph.

...O valor de π
...pertence aos números irracionais. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar π por 3,1, 3,14 e 3,1416.

...Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima π por 3,1415927. Para cálculos mais precisos pode-se utilizar com 25 casas decimais.
...Para cálculos ainda mais precisos pode-se obter aproximações de π através de algoritmos computacionais.


...Aula sobre o Pi...π





....PI está em todos os lugares

...O rolar das ondas numa praia, o trajeto aparente diário das estrelas no céu terrestre, o espalhamento de uma colônia de cogumelos, o movimento das engrenagens e rolamentos, a propagação dos campos eletromagnéticos e um sem número de fenômenos e objetos, do mundo natural e da Matemática, estão associados às idéias de simetria circular e esférica. Ora, o estudo e uso de círculos e esferas, de um modo quase que inexorável, acaba produzindo o PI. Daí a ubiquidade desse número. Ele é uma das constantes universais da Matemática.

...É importante chamarmos a atenção para o fato que também são frequentes as ocorrências do PI em estudos onde aparentemente, principalmente para uma pessoa de pouca formação matemática, não estariam envolvidas simetrias circulares: na normalização da distribuição normal de probabilidades, na distribuição assintótica dos números primos, na construção de números primos próximos a inteiros dados ( na chamada constante de Ramanujan ), e mil e uma outras situações.

...A descoberta do PI

Muitas pessoas acham que precisamos ter o valor do PI para calcular circunferência de círculos. Um exemplo clássico mostrando que isso NAO e' verdade e' o cálculo da circunferência da Terra por Erathostenes c. 250 AC.

...Ele mediu um arco de meridiano terrestre de 5000 estádios e, usando um instrumento de forma semi-esférica ( chamado skaphe ), verificou que esse arco de meridiano era proporcional a um arco de meridiano da skaphe, o qual media 1/50 do meridiano da esfera desse instrumento. Consequentemente, concluiu que o meridiano terrestre e' 50*5000 = 250000 estádios. Ou seja, em lugar nenhum precisou saber o valor do PI!

...Esse exemplo, e outros que poderiamos mencionar, mostram que é bastante surpreendente que a quase totalidade das pessoas ache que PI foi descoberto ao se relacionar circunferências com diâmetros dos respectivos círculos. Embora a definição usual do PI baseie-se na constância da razão circunferência : diâmetro, muito provavelmente não foi essa a origem do PI.

...Com efeito, é difícil imaginarmos situações práticas reais onde, numa civilização incipiente, alguém tenha precisado calcular a circunferência de um círculo de diâmetro conhecido, ou vice-versa. Muito mais naturais sao problemas requerendo achar a área de um campo circular em termos do diâmetro ou mesmo em termos da circunferência. Em verdade, devia-se até questionar se a descoberta do PI realmente ocorreu no contexto de círculos, e não no de esferas.

...Essa inquietação nao é só nossa. O famoso historiador matemático Abraham Seidenberg gastou muitos anos de sua vida vasculhando museus e lendo trabalhos de antropologia, em busca dos mais antigos indícios de envolvimento humano com círculos, esferas e o PI. O resultado desses estudos foi resumido nos seus artigos The ritual origin of the circle and square, Archiv. Hist. Exact Sc. 25, (1981), e principalmente em On the volume of a sphere, Archiv. Hist. Exact Sc. 39, (1988).

...Sua conclusão foi que o cálculo do volume da esfera em termos de seu diâmetro remontaria a antes de 2 000AC, sendo anterior a matemática das grandes antigas civilizações mesopotâmica, indiana, chinesa e egípcia.

...O historiador matemático B. van der Waerden identifica essa origem com o que chamo de Tradição Origem da Matemática e a localiza no Vale do Danúbio c. 4 000 AC. Segundo Seidenberg, nessa tradição também se teria reconhecido a igualdade da constante de proporcionalidade relacionando circunferência com diâmetro e área de círculo com quadrado do raio; ou seja, já nessa tradição, possivelmente lá por 3000 a 4000AC, se teria reconhecido que o "PI da circunferência" é igual ao "PI da área do círculo". Também é interessante observar que Seidenberg concluiu que a descoberta dessa igualdade usou métodos infinitesimais, ao estilo de Cavalieri.

...É preciso que fique bem claro que o que o trabalho de Seidenberg achou na noite dos tempos, em bem remota antiguidade, foram apenas indícios indiretos de envolvimento com PI. Os mais antigos documentos concretos que temos e que tratam explícitamente de PI são tabletas mesopotâmicas de c. 2 000 AC, como a mostrada ao lado. Examinando a figura desenhada, fica fácil ver que a mesma corresponde a adotar a aproximação grosseira PI = 3, que é a mais comum das aproximações para PI que encontramos nos documentos mesopotâmicos.

Fonte: Wikipedia , youtube e
http://www.mundovestibular.com.br
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07 abril, 2009

Alfabeto Grego



...O alfabeto utilizado para escrever a Língua grega teve o seu desenvolvimento por volta do século IX a.C., utilizando-se até aos nossos dias, tanto no grego moderno como também na Matemática, Astronomia, etc.

...Anteriormente, o alfabeto grego (Ελληνικό αλφάβητο) foi escrito mediante um silabário, utilizado em Creta e zonas da Grécia continental como Micenas ou Pilos entre os séculos XVI a.C. e XII a.C. e conhecido como linear B. O Grego que reproduz parece uma versão primitiva dos dialectos Arcado-cipriota e Jónico-ático, dos quais provavelmente é antepassado, e é conhecido habitualmente como Micénico.

...Crê-se que o alfabeto grego deriva duma variante do semítico, introduzido na Grécia por mercadores fenícios. Dado que o alfabeto semítico não necessita de notar as vogais, ao contrário da língua grega e outras da família indo-europeia, como o latim e em consequência o português, os gregos adaptaram alguns símbolos fenícios sem valor fonético em grego para representar as vogais. Este facto pode considerar-se fundamental e tornou possível a transcrição fonética satisfatória das línguas Europeias.
Fonte: Wikipédia

24 março, 2009

PORCENTAGEM...7ª série..A, B e C

...Atividade de Matemática...

1) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma desvalorização de 5% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?

2) O salário de Bruna era de R$ 1 400,00, até ser promovida e receber um aumento de 20%. Qual o seu novo salário?

3) Um colar foi comprado por R$ 840,00. E sofreu uma valorização anual de 15%. Calcule: a) a valorização, do colar, após um ano.
b) seu valor atual.

4) Uma bike, cujo preço é R$ 1200,00, pode ser comprada da seguinte maneira:
a) a vista, com 15% de desconto
b) pagamento para 60 dias, com acréscimo de 25% sobre o preço inicial
Responda: Qual é a diferença, em reais, entre as duas opções de compra?

5) Em uma caixa há: 4 bolas verdes,
3 bolas vermelhas, 6 bolas azuis e 7 bolas pretas. Qual a possibilidade de retirar aleatoriamente:
a) uma bola verde
b) uma bola azul
c) uma bola preta

6) Isa recebe um salário mensal de R$ 3500,00. Em abril terá uma aumento de 10% e em maio receberá outro aumento de 20%. Encontre: a) seu novo salário referente a junho
b) a taxa percentual de aumento salarial, recebida em junho.

7) Uma equipe de atletismo é composta por 8 homens e 6 mulheres com mais de 18 anos e por 7 homens e 7 mulheres com menos de 18 anos. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de escolher:
a) um atleta com mais de 18 anos
b) uma mulher
c) uma mulher com menos de 18 anos

8) A revista “Duas Rodas”, realizou uma pesquisa com 1600 leitores, a respeito da preferência de motos e obteve as seguintes respostas: 300 optaram pela Suzuki Hayabusa, 600 pela Honda Hornet, 250 pela Harley Davidson VSRC V-Rod, 450 pela YZF R1-Yamaha. Encontre a representação percentual de cada motocicleta.


04 março, 2009

Conjunto dos Números Reais...7ª série

...A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades.

...E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. E é sobre eles que passamos a dissertar.

...Conjunto dos Números Naturais
Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:

N = {0; 1; 2; 3; …}
Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.

Observações:
Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação;
Isto é fato pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;
Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N.
Como consequência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade.

...Conjunto dos Números Inteiros
Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:

Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}



No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:

Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros não positivos: Z- = {…; -3; -2; -1; 0};
Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros positivos Z+* = {1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros negativos Z-* = {…; -3; -2; -1}.
Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z.



Observações:
No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;
Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z;
Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;

...Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;

...Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro.

...Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:



...Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem também para o conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q- (conjunto dos números racionais não positivos).

Observações:

São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros;
Além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b pertencente a Q,
...a/b diferente de zero,
...existe b/a em Q tal que (a/b)(b/a) = 1;
Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;
Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…).

Números Irracionais
Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero.


São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e a raiz cúbica de 3, ou seja, nenhum deles pertence a Q.

A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 não pertence a Q.

Suponhamos que raiz quadrada de 2 é racional e admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível a/b, b diferente de zero:


Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, portanto, a é par. Logo a = 2m, com m inteiro. Substituindo o valor de a na expressão anterior vem que:



Da mesma forma obtemos que b também é par, o que é um absurdo pois a/b é irredutível, ou seja, a e b são primos entre si, e portanto têm como divisor comum apenas o número 1, isto é, mdc(a,b) = 1.

Caso deseje obter maiores informações sobre as operações com números irracionais consulte os artigos publicados no blog na categoria Matemática.

...Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais:

R = {x | x é racional ou x é irracional}

Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.

Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R+ = conjunto dos reais não negativos e R- = conjunto dos reais não positivos.




Referências:
Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

24 fevereiro, 2009

Números Inteiros...6ª séries

NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS: Aprendizagem com a resolução de problemas

...Na China por volta de 300 a.c. existem relatos que os chineses já utilizavam os números negativos de forma rudimentar em suas atividades cotidianas.
... Eles utilizavam duas coleções de barras de bambu, ferro ou marfim uma de cor vermelha para indicar números positivos e outra de cor preta para indicar os números negativos.
... Mas foram os Hindus os responsáveis pela idealização da representação numérica dos números negativos.



...A idéia de um número negativo ser resultado de uma equação era considerada como absurda para muitos matemáticos como Diofanto, Michel Stifel, Cardano e outros.
... O conceito dos números negativos começou a ser difundido quando a descoberta da aplicabilidade em geometria principalmente.
...Ao ensinar o conceito de números negativos no ensino fundamental, onde ocorre o primeiro contato com representação numérica de números negativos.
... Encontram-se inúmeras dificuldades, pois geralmente neste primeiro momento ocasiona-se um impacto na maioria dos alunos. Pois até então o individuo utiliza o conceito de forma mental em suas atividades cotidianas.
...Por exemplo, ao comprar balas, sorvetes ele utiliza o conceito de forma mecânica. Pois não há dificuldade mediante ao raciocínio sobre o valor a ser pago e nem enquanto restará de troco, mas o individuo desconhece o conceito quando relacionamos a quantidade negativa, pois o mesmo não consegue abstrair utilizando a representação numérica.
... Assim verificamos como o aluno encontra dificuldades em aprender este conceito em principio por, não assimilar quantidades negativas. Pois até então o individuo aprendeu efetuar operações nas séries iniciais relacionando-as quantidades positivas.
... A aprendizagem deste conceito inicia quando se começa a demonstrar através de exemplificações que o conceito de números negativos é algo que já faz parte do cotidiano de cada um deles embora eles desconheçam.
... Ao aplicar exemplos mentais com números negativos em classe nota-se que existe agilidade no raciocínio. Mas quando se aplica um exemplo de forma numérica num mesmo modelo nota-se que há dificuldades em se obter o resultado pela maioria.
...Isso nos leva a refletir sobre a necessidade de se utilizar da resolução de problemas no ensino e aprendizagem.
...Essa aplicação mostra que o conhecimento matemático ganha muito mais significado quando o aluno tem situações desafiadoras para resolver.
...Além disso, possibilita ao aluno a fazer uma conexão do conhecimento novo com um já existente. Desenvolvendo assim, a capacidade de mobilizar o conhecimento e de gerenciar as informações que estão ao seu alcance.
...Como por exemplo, desenvolver um trabalho que compare algumas situações vivenciadas pelos alunos.
...Como a variações de temperatura, saldo negativo, perder um jogo, dívidas, comparar altitudes, faltas e ausências.
...Uma outra forma é a representação geométrica em uma reta sendo um sistema muito interessante como recurso de ensino-aprendizagem.
...Portanto, as dificuldades encontradas pelos alunos em realizar operações com números negativos, na realidade se tratam de problemas resultantes da metodologia de ensino utilizada pelo docente, que não tem sido relevante aos conhecimentos prévios dos alunos. Sendo dessa forma, um ensino descontextualizado.


Palavras-chave: Números inteiros negativos, Aprendizagem e Resolução de Problemas.
PEREIRA, Eliana Alves¹
Pós-graduada em Didática e Metodologia do Ensino Superior no Ceulji-Ulbra / Graduada e Licenciada em Matemática pela UNIR. /elianeap10@hotmail.com
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18 fevereiro, 2009

...Resolução de Problemas...7ª séries

EMEF “19 DE NOVEMBRO”
...leia e resolva os problemas no caderno...


1) Escreva os anagramas dos nomes: KAUE, SUZI e LUD.
2) Um concurso irá premiar a mais bela modelo. De quantas maneiras dez candidatas ocuparão os quatro primeiros lugares?
3) Após uma reunião 15 pessoas se despedem com apertos de mão. Calcule o total de cumprimentos.
4) Vinte carros participam de um Grande Prêmio. De quantas maneiras teremos no podium os 3 primeiros colocados?
5) Um casal teve seu primeiro filho com 18 anos. Acontece que tiveram 6 filhos a cada 3 anos. Qual era a idade do casal quando nasceu o 5º filho?
6)) Bruno possui 7 camisas, 3 calças, 4 pares de meias e 2 pares de sapatos. De quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir?
7) O Cardápio do Bob’s oferece 4 tipos de lanches, 3 tipos de sucos, 2 tipos de saladas e 5 tipos de sorvetes. De quantas maneiras posso fazer meu pedido?
8) Quantas placas de automóveis podemos ter com 2 letras e 3 algarismos?
9) Quanto tempo você demoraria para gastar 1200 reais, se você gastar dois reais por minuto?
10) Seis times de futebol (P, B, C, I, M e S), disputam um torneio internacional. Quantas são as possibilidades de classificação para os 3 primeiros colocados.



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...Escola...


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Escola é ...
o lugar que se faz amigos.
Não se trata só de prédios, salas, quadros,
Programas, horários, conceitos...
Escola é sobretudo, gente
Gente que trabalha, que estuda
Que alegra, se conhece, se estima.
O Diretor é gente,
O coordenador é gente,
O professor é gente,
O aluno é gente,
Cada funcionário é gente.
E a escola será cada vez melhor
Na medida em que cada um se comporte
Como colega, amigo, irmão.
Nada de “ilha cercada de gente por todos os lados”
Nada de conviver com as pessoas e depois,
Descobrir que não tem amizade a ninguém.
Nada de ser como tijolo que forma a parede, indiferente, frio, só.
Importante na escola não é só estudar, não é só trabalhar,
É também criar laços de amizade,
É criar ambiente de camaradagem,
É conviver, é se “amarrar nela”!
Ora é lógico...
Numa escola assim vai ser fácil!
Estudar, trabalhar, crescer,
Fazer amigos, educar-se, ser feliz.
É por aqui que podemos começar a melhorar o mundo.
(Paulo Freire)
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16 fevereiro, 2009

...Metodologia de Resolução de Problemas...

Resolução de problemas
A resolução de problemas constitui uma metodologia de trabalho emblemática para a comunidade da educação matemática em todo o mundo, e a que investigação educacional tem dedicado atenção particular. Não obstante o esforço visível em muitas publicações de definir o que é um problema e de criar categorias, ainda subsiste, por vezes, alguma indefinição quanto à relação existente entre o processo de resolução de problemas e o processo investigativo.

Pólya procurou ajudar a descortinar o significado de problema, num sentido amplo, fazendo distinção entre o problema em si e o processo de resolução. Em Mathematical Discovery afirma que uma pessoa tem um problema quando procura "conscientemente uma certa acção apropriada para obter um objectivo claramente concebido mas não atingível de maneira imediata."

Ao realizar essa acção deu-se a resolução do problema. A noção de dificuldade é inerente ao conceito de problema - sem esta não se pode falar em problema.

Este matemático refere ainda que o interesse pelo problema e a sua apropriação por quem o resolve são essenciais. No caso da actividade matemática considera que "o passo crucial do matemático pode ser escolher o seu problema" ou até mesmo, inventá-lo.

Dois aspectos característicos da actividade de resolução de problemas mas que, muitas vezes, não lhe são associados são: a formulação de problemas e os processos de pensamento indutivo. Embora por vezes os problemas surjam na literatura como um grande chapéu de chuva debaixo do qual se abriga toda a actividade de teor problemático, ou seja, tudo aquilo que constitui um desafio (ou um problema de acordo com a definição de Pólya), é comum ser dada uma conotação mais restrita à definição de problema.
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PIPAS & MATEMÁTICA

PIPAS e MATEMÁTICA:
Origens, lendas, mitos...


...A história das pipas possui mistérios, lendas, símbolos e mitos. Ela também encanta pela magia e beleza. Tudo deve ter começado quando o homem primitivo se deu conta de sua limitação diante da capacidade de voar dos pássaros. Essa frustração foi o mote para que ele desse asas a sua imaginação.

...Pipa, papagaio ou pandorga, entre outras denominações, pode ser definido como um brinquedo que voa preso a extremidade de uma linha ou barbante. Em geral, tem uma armação leve de bambu ou madeira, sobre a qual se estica uma folha de papel ou plástico.
... A Pipa também ajuda na construção dos conceitos matemáticos. Com ela podemos ensinar a geometria de forma lúdica, desenvolvendo o raciocínio lógico sempre promovendo, nesta construção, a formação do indivíduo com um trabalho cooperativo onde há respeito pelo ambiente em que se vive. Durante a construção, a Pipa, é caracterizada por alguns entes geométricos como: linhas concorrentes, paralelas, triângulos, retângulos, triângulos retângulo, losangos, ângulos etc.

...Quem achar, contudo que as pipas não têm outra utilidade, a não ser diversão, engana-se. O milenar brinquedo auxiliou na criação do pára-raios, esteve presente na primeira transmissão radiofônica e ainda auxiliou Santos Dumont em suas primeiras experiências, entre outros atributos.

...Os historiadores acreditam que tenha sido inventada entre 400 e 300 (A.C.) por Arquitas, um grego da cidade de Tarena. Os chineses afirmam, contudo, que o general Han Sin a inventou em 206 (AC), para uso dos militares.
...Em 1749 o escocês Alexander Wilson usou vários termômetros presos as pipas para medir a temperatura nas alturas. Já Benjamim Franklin, em 1752, utilizando uma pipa forrada de pano, demonstrou em um dia de chuva, que nas nuvens existe eletricidade estática, criando assim o pára-raios.

...O inglês Douglas Archibasld, em 1883, prendeu um anemômetro (medidor de vento) à linha de uma pipa e mediu a velocidade do vento a 360m de altura. A aerofotografia com o auxílio de pipas também é muito praticada desde o fim do século XIX. Guglielmo Marconi em 1901 usou uma pipa para erguer uma antena e fez a primeira transmissão de rádio.
...No fim do século XIX e inicio do século XX, o homem estava decidido a construir uma máquina que lhe permitisse voar, nessa época ele só tinha duas referências de vôo, que eram as aves e a pipa. Muitos tentaram imitar os pássaros com suas máquinas sem sucesso, outros tentavam usando pipas.
...Em 1906, depois de vários testes, o brasileiro Alberto Santos Dumont fez o primeiro vôo, usando um conjunto de pipas-caixas, acionadas por suas próprias forças. Este avião recebeu o nome de “14 BIS”. Fonte: www.pipas.art.br

...Nós brasileiros conhecemos as pipas através dos colonizadores portugueses por volta de 1596 que, por sua vez, as conheceram através de suas viagens ao Oriente. Um fato pouco conhecido de nossa História deu-se no Quilombo dos Palmares, quando sentinelas avançadas anunciavam por meio de pipas quando algum perigo se aproximava mais uma prova de que a pipa era conhecida na África há muito mais tempo, pois os negros já cultuavam-na como oferenda aos deuses. http://www.pipas.com.br