...Caro aluno.
...Com a intenção em desenvolver e aprofundar seus estudos
... Informo sobre um Arquivo, localizado no 4shared, para vc acessar e baixar Apostilas de Matemática.
...O endereço é...
http://www.4shared.com/dir/6610182/b3e15407/OBMEP_-_Iniciao_Cientfica_Jr.html
...Boa Sorte
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OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Soluções do Nível 1 - 1a Fase
1. (alternativa C)
99 + 999 + 9 999 =
(100 −1) + (1000 −1) + (10 000 −1) =
11100 − 3 = 11097.
2. (alternativa D)
A balança mostra que o peso de Aninha com um mês de idade é de 4,1 quilos, ou seja, 4100 gramas. Aninha nasceu com 3250 gramas, logo ela engordou 4100 − 3250 = 850 gramas em seu primeiro mês de vida.
Comentário: usamos aqui a palavra “peso” em lugar de “massa” devido a seu emprego coloquial.
3. (alternativa E)
Na opção I o quadrado está dividido em quatro triângulos iguais, de modo que a
área da região sombreada é a metade da área do quadrado.
Na opção II, a diagonal divide o quadrado em dois triângulos iguais, e outra vez a área da região sombreada é metade da área do quadrado.
Na opção III o triângulo sombreado tem área menor do que o triângulo sombreado da opção II, ou seja, menor que metade da área do quadrado.
Na opção IV, observamos na figura ao lado que a perpendicular MN ao segmento AB divide o quadrado nos pares de triângulos iguais AMN, ADN e BMN, BCN; segue mais uma vez que a área da região sombreada é metade da área do quadrado.
Finalmente, a área do triângulo sombreado na opção V é maior do que a área do
triângulo sombreado da opção II, ou seja, é maior do que metade da área do quadrado.
Comentário: observamos que na opção IV o ponto N não precisa ser o ponto médio do lado CD. De fato, o argumento usado acima para analisar essa opção não depende da posição de N ao longo de CD.
4. (alternativa A)
Solução 1: Na figura vê-se que V está abaixo de R, que está abaixo de S, que está abaixo de U, que está abaixo de T.
Logo a ordem em que os discos foram colocados sobre a mesa é V, R, S, U, T.
Solução 2: T está acima de U, que por sua vez está acima de S e V. Como R está abaixo de S e acima de V vê-se que S foi colocado na mesa depois de V e R, e chegamos à mesma solução anterior.
5. (alternativa C)
Temos 9870 x 1,54 = 987 x 10 x 154/100 = 987x154/10 = 151998/10 = 15 199,8
6. (alternativa B)
Solução 1: Se Pedro não tivesse trocado os preços, a quantia que ele teria recebido pela venda de 100 quilos de cenoura e 120 quilos de tomate seria 100 ×1+120 ×1,10 = 100 +132 = 232 reais. A quantia que ele recebeu, de fato, foi de 100 ×1,10 +120 ×1= 110 +120 = 230 reais. Logo, por causa de sua distração, ele perdeu 232 − 230 = 2 reais.
Solução 2: Como a diferença dos preços dos dois produtos é R$ 0,10 por quilo, ao trocar os preços Pedro ganhou 100 × 0,10 = 10 reais na venda das cenouras e perdeu 120 × 0,10 = 12 reais na venda dos tomates. Logo, no final, ele perdeu 2 reais.
7. (alternativa E)
Os casais 1 e 2 podem se sentar de duas maneiras distintas:
123 14243
esquerda direita
casal 1 casal 2 ou casal 2 casal 1
No primeiro caso, as quatro pessoas podem se sentar em 4 ordens, então:
homem 1, mulher 1, homem 2, mulher 2
homem 1, mulher 1, mulher 2, homem 2
mulher 1, homem 1, homem 2, mulher 2
mulher 1, homem 1, mulher 2, homem 2
No segundo caso, obtemos da mesma maneira outras 4 ordens. Logo os casais podem se sentar no banco de 4 + 4 = 8 maneiras distintas.
8. (alternativa D)
Um quadrado de lado l tem área l 2 . Os lados dos quadrados de áreas 25 cm2 e 9 cm2 medem respectivamente, 5 cm e 3 cm. Segue que o lado do quadrado menor mede 5 − 3 = 2 cm.
O contorno da figura é formado por 3 lados de 5 cm, 2 lados de 3 cm, 2 lados de 2 cm e um segmento que é a diferença entre um lado de 3 cm e outro de 2 cm, donde o perímetro é 3 × 5 + 2× 3 + 2× 2 + (3 − 2) = 26 cm.
9. (alternativa D)
Para encontrar a expressão que a professora escreveu no quadro negro, precisamos destrocar tudo o que Carlos trocou:
( 1 3 ÷ 5 ) × ( 5 3 + 2 ) − 2 5, agora temos
( 1 5 ÷ 3 ) + ( 3 5 × 2 ) − 2 3
Logo o resultado da expressão que professora escreveu no quadro negro é
(15 ÷ 3) + (35 × 2) − 23 = 5 + 70 − 23 = 52 .
10. (alternativa D)
Uma maneira de iniciar o preenchimento da tabela é
Agora é fácil completar a tabela O resultado final é
4 2 3 1
1 3 2 4
2 1 4 3
3 4 1 2
e a soma procurada é 4 + 3 + 4 + 2 = 13 .
11. (alternativa C)
Como o resultado da multiplicação é um número de três algarismos, então só pode representar 1, 2
ou 3. Logo não “vai 1” quando multiplicamos (multiplicador) por (algarismo das unidades do
multiplicando) e assim × 2 = 6, donde = 3 e Δ = 9. Portanto × Δ = 27.
12. (alternativa A)
Para montar o quadrado maior, a peça de um quadradinho não poderá ocupar
nenhuma das quatro casas sombreadas na figura ao lado. Logo César só pode
ter escrito nessa peça os seguintes números: 12, 25, 14, 20 ou 16.
Examinemos agora cada uma das opções:
(A) todos esses números são maiores que 9
(B) nenhum desses números é menor que 11
(C) nenhum desses números é maior que 27
(D) nenhum desses números é par menor que 10
(E) nenhum desses números está entre 21 e 24
donde temos a opção correta.
13. (alternativa A)
As informações do gráfico são dadas nas três primeiras colunas da tabela abaixo:
...Concluímos que o maior aumento percentual de população entre 1990 e 2000 ocorreu na cidade I. Na forma percentual, 30 67%
14. (alternativa D)
A região sombreada é formada pelo quadrado central, quatro retângulos cada um com metade da área de um quadrado e quatro triângulos cada um com um oitavo da área de um quadrado. Logo a área da região sombreada é 1+4 . 1/2+4 . 1/8 = 3,5 cm2.
15. (alternativa D)
Inicialmente o fabricante cobrava R$ 20,00 por quilo e passou, com o aumento de preço, a cobrar R$ 25,00 por quilo. Logo o aumento do preço foi de R$ 5,00 por quilo e o aumento percentual de 5/20 = 25%
16. (alternativa D)
Solução 1: Cada vez que se passa uma bola branca da caixa quadrada para a redonda, tanto o número de bolas brancas quanto o total de bolas na caixa quadrada diminui de 1; já na caixa redonda, tanto o número de bolas brancas quanto o total de bolas aumenta de 1. Número de bolas brancas passadas da caixa quadrada para a redonda 0 1 2 3 4..., Paula terá que passar 3 bolas brancas da caixa quadrada para a redonda.
17. (alternativa C)
Ao montar o cubo, a face branca e a face cinza ficam opostas; logo as alternativas (A) e (B) estão excluídas. As alternativas (D) e (E) estão excluídas pois no cubo não podem aparecer um retângulo branco e outro cinza com um lado menor em comum.
18. (alternativa D)
Como queremos obter a soma 54, devemos colocar sinais de adição entre todos os algarismos a partir do 5, isto é, 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 6 7 8 9 54 30
+ + + + = 1442443 . Logo precisamos que 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 = 24 .
Com o mesmo argumento usado anteriormente, vemos que isso só pode ser feito como
12 + 3 + 4 + 5 . Logo 12 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 54 é a expressão procurada, para a qual necessitamos de 7 sinais de adição.
19. (alternativa C)
Como 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 +11+12 = 78 , a soma de duas faces opostas em cada cubo é 78 ÷ 6 = 13 . Logo, no cubo à direita, a face oposta à face 3 é a face 10, que é então uma das faces coladas. Falta descobrir qual a face do outro cubo que foi colada . Como é uma face par, só pode ser 6, 8 ou 12, porque já sabemos onde estão as faces 2, 4 e 10. Olhando para o cubo da esquerda vemos que a face 1 é oposta à face 12 e a face 5 oposta à face 8. Logo, nesse cubo, a face colada foi a 6. Portanto a resposta é 6 × 10 = 60.
20. (alternativa E)
Como 950 + 550 = 1500 = 2× 750 , uma solução é café na xícara I, suco na II, café na III, leite na IV e na V. Nessa solução temos apenas uma xícara com suco.
Será que existe outra solução com suco em duas xícaras? Se sim, teríamos duas possibilidades para a quantidade de suco:
i. 475+ 325= 800ml (suco nas duas xícaras menores) Nesse caso teríamos 1600 ml de café o que é impossível obter com 1 ou 2 xícaras dentre as I, II e III
ou
ii. maior do que 800 ml; nesse caso a quantidade de café seria maior que 800 × 2 = 1600 ml, o que só pode ocorrer com café nas xícaras I e II, que somam 950 + 750 = 1700 ml.
Neste caso a quantidade de suco seria 850 ml, o que não pode ocorrer com as demais xícaras.
Logo há suco em apenas uma xícara, donde a única solução possível é a dada acima.
